Question

11．在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+a_n+1+4n+2=0．
（1）若b_n=a_n+2n．求证：{b_n}是等比数列，并写出{b_n}的通项公式．
（2）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=-1及b_n=a_n+2n求出{b_n}的首项，再由a_n+a_n+1+4n+2=0利用等比数列的定义证明{b_n}是等比数列，并求得其通项公式；
（2）分n为偶数和奇数把数列{a_n}的项两两组合，然后利用等差数列的前n项和求得答案．

解答 解：（1）b₁=a₁+2×1=-1+2=1，
∵a_n+a_n+1+4n+2=0，∴a_n+1=-a_n-4n-2，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}+2（n+1）}}{{{a_n}+2n}}=\frac{{-{a_n}-4n-2+2n+2}}{{{a_n}+2n}}=-1$，
∴{b_n}是以1为首项，-1为公比的等比数列，
则${b_n}={（-1）^{n-1}}$；
（2）b_n=a_n+2n，且${b_n}={（-1）^{n-1}}$；
则a_n=（-1）^n-1-2n，
由a_n+a_n+1+4n+2=0，得a_n+a_n+1=-4n-2，
当n为奇数时，
S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=-1-4（2+4+…+n-1）-2×$\frac{n-1}{2}$=-1-4×$\frac{（2+n-1）×\frac{n-1}{2}}{2}$-n+1=1-n²-n；
当n为偶数时，
S_n=a₁+a₂+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=-4（1+3+…+n-1）-2×$\frac{n}{2}$=$-4×\frac{（1+n-1）×\frac{n}{2}}{2}-n$=-n²-n．
综上，${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}-n，n为偶数}\\{1-{n}^{2}-n，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和，考查了等差数列的前n项和，是中档题．