Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ），
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，由f′（x）=0，得，
在区间上，f′（x）＞0，在区间上，f′（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）由已知，转化为，，
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；
(或者举出反例：存在，故不符合题意)
当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，，
所以，
解得。