Question

8．已知矩形ABCD，AD=$\sqrt{2}$AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内（不含边界）．设二面角A′-BD-C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则（　　）

• A． α＜θ＜β
• B． β＜θ＜α
• C． β＜α＜θ
• D． α＜β＜θ

Answer 1

分析 由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．

解答 解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，
当A′点在底面上的射影O落在BC上时，
有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，
∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则BC=$\sqrt{2}$，∴A′C=1，说明O为BC的中点；
当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，
设BA′=1，则$A′D=\sqrt{2}$，∴A′E=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．
可知∠A′EF为二面角A′-BD-C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，
直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，
可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且$A′E=\frac{\sqrt{6}}{3}＜1$，而A′C的最小值为1，
∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，训练了正弦函数单调性的应用，是中档题．