Question

16．当双曲线$\frac{x^2}{{{m^2}+8}}-\frac{y^2}{6-2m}=1$的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（　　）

• A． y=±x
• B． $y=±\frac{2}{3}x$
• C． $y=±\frac{1}{3}x$
• D． $y=±\frac{1}{2}x$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2$\sqrt{{（m}^{2}+8）+（6-2m）}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2m+14}$，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{{{m^2}+8}}-\frac{y^2}{6-2m}=1$，
其焦距2c=2$\sqrt{{（m}^{2}+8）+（6-2m）}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2m+14}$，
分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，
此时双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
其渐近线的方程为y=±$\frac{2}{3}$x，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及二次函数的性质，关键是掌握双曲线的焦距的公式．