Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦点分别为F₁，F₂，点A在双曲线上，且AF₂⊥x轴，若△AF₁F₂的内切圆半价为$（{\sqrt{3}-1}）a$，则其离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，设Rt△AF₁F₂内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c-a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由点A在双曲线上，且AF₂⊥x轴，
可得A在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
设Rt△AF₁F₂内切圆半径为r，
运用面积相等可得S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AF₂|•|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$r（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|），
由勾股定理可得|AF₂|²+|F₁F₂|²=|AF₁|²，
解得r=$\frac{{|{A{F_2}}|+|{{F_1}{F_2}}|-|{A{F_1}}|}}{2}=\frac{2c-2a}{2}=c-a=（{\sqrt{3}-1}）a$，
$⇒c=\sqrt{3}a$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．