Question

19．曲线C为：到两定点M（-2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（　　）
（1）曲线C一定经过原点；
（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
（3）△MPN的面积不大于8；
（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设P（x，y），则$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=16，对选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：设P（x，y），则$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=16，
（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；
（2）以-x代替x，-y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；
（3）x=0，y=$±2\sqrt{3}$，△MPN的最大面积=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$＜8，故正确；
（4）令y=0，可得x=±2$\sqrt{5}$，曲线C在一个面积为4$\sqrt{3}×4\sqrt{5}$=16$\sqrt{15}$的矩形范围内，不正确．
故选B．

点评 本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．