Question

10．已知点P为函数f（x）=e^x的图象上任意一点，点Q为圆（x-e²-1）²+y²=1上任意一点（e为自然对数的底），则线段PQ的长度的最小值为$e\sqrt{{e^2}+1}-1$．

Answer 1

分析 由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e²+1，0）到函数f（x）=e^x图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点（m，e^m），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得e^2m-e²+m-1=0，g（x）=e^2x-e²+x-1，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e²+1，0）到函数f（x）=e^x图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，e^m），
由f（x）的导数为f′（x）=e^x，
即有切线的斜率为k=e^m，
可得$\frac{{e}^{m}}{m-{e}^{2}-1}$=-e^-m，
即有e^2m-e²+m-1=0，
由g（x）=e^2x-e²+x-1，可得g′（x）=2e^2x+1＞0，g（x）递增．
又g（1）=0，
可得x=1处点（1，e）到点Q的距离最小，且为$e\sqrt{{e}^{2}+1}$，
则线段PQ的长度的最小值为$e\sqrt{{e^2}+1}-1$，
故答案为$e\sqrt{{e^2}+1}-1$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．