Question

5．定义在R上的函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+cx+3（c为常数），f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设g（x）=4lnx-f′（x），（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），求g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²+c；然后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，求出f′（0）=c=-1，进而求出函数y=f（x）的解析式即可；
（2）分别求出g（x）、g′（x），然后分两种情况：①当0＜x＜$\sqrt{2}$和②当x≥$\sqrt{2}$时，讨论求出g（x）的极值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+cx+3，f′（x）=x²+c，
因为f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，
所以f′（0）=c=-1，
即f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3；
（2）由（1），可得g（x）=4lnx-x²+1，x∈（0，+∞），
则g′（x）=$\frac{4}{X}$-2x=$\frac{4-2{x}^{2}}{x}$=-$\frac{2（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，
①当0＜x＜$\sqrt{2}$时，g′（x）＞0，
可得g（x）在（0，$\sqrt{2}$）上为增函数；
②当x≥$\sqrt{2}$时，g′（x）≤0，
可得g（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上为减函数；
所以g（x）在x=$\sqrt{2}$处取得极大值g（$\sqrt{2}$）=2ln2-1．

点评 此题主要考查了利用导数求函数的极值以及切线方程的求解问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．