Question

20．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式中各项系数的和比（3x-1）ⁿ的展开式中二项式系数的和大992，求（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中：
（1）第10项
（2）常数项；
（3）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得第10项、常数项、以及系数的绝对值最大的项．

解答 解　由题意得2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5，
∵（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_{10}^r{（2x）^{10-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}=C_{10}^r{2^{10-r}}{（-1）^r}{x^{10-2r}}$，
（1 ）令r=9，可得它的展开式中第10项，即T₁₀=-20x^-8 ．
（2）令10-2r=0，求得r=5，可得常数项为第6项，
T₆=-${C}_{10}^{5}$•2⁵=-8 064．
（3）设第r+1项的系数的绝对值最大，即T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r 最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{9-r}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{11-r≥2r}\\{2（r+1）≥10-r}\end{array}\right.$，
∴$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，故系数的绝对值最大的是第4项，
T₄=（-1）³•${C}_{10}^{3}$•2⁷•x⁴=-15 360x⁴．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．