Question

15．已知i是虚数单位，复数$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$，若z²+az+b=1+i，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入z²+az+b=1+i，再由复数相等的条件求得a，b的值．

解答 解：$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$=$\frac{{2i+3（{1-i}）}}{2+i}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{{（{3-i}）（{2-i}）}}{{（{2+i}）（{2-i}）}}$=$\frac{5-5i}{5}=1-i$．
将z=1-i代入z²+az+b=1+i，得（1-i）²+a（1-i）+b=1+i，
即（a+b）-（a+2）i=1+i．
由复数相等的定义可知$\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\-（{a+2}）=1\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=4\end{array}\right.$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．