Question

3．已知函数f（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x³-kx，其中a，k∈R．
（1）若f（x）的一个极值点为$\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间与极小值；
（2）当a=0时，?x₁∈[0，2]，x₂∈[1，2]，f（x₁）≠g（x₂），且g（x）在[1，2]上有极值，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，解得a的值，可得f（x）和导数f′（x），由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；进而得到f（x）的极小值；
（2）运用基本不等式求出f（x）在[0，2]的值域，求出g（x）的导数，由题意可得极值点在（1，2）内，求出g（x）在[1，2]的最小值，比较g（1）和g（2）的值，可得g（x）的最大值，由题意可得f（x），g（x）的值域无交集，即可得到k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$的导数为f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2ax+1}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f（x）的一个极值点为$\frac{1}{2}$，可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，
即为a+1-$\frac{1}{4}$=0，解得a=-$\frac{3}{4}$，
则f（x）=$\frac{x+\frac{3}{4}}{1+{x}^{2}}$，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{（2x-1）（x+2）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得-2＜x＜$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0，解得x＜-2或x＞$\frac{1}{2}$．
可得f（x）的增区间为（-2，$\frac{1}{2}$），减区间为（-∞，-2），（$\frac{1}{2}$，+∞）；
极小值为f（-2）=$\frac{-2+\frac{3}{4}}{1+4}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）当a=0时，f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，当x∈[0，2]，f（x）≥0，
且0＜x≤2时，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时，f（x）取得最小值2，
f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$．则f（x）在[0，2]的值域为[0，$\frac{1}{2}$]；
g（x）=x³-kx的导数为g′（x）=3x²-k，
g（x）在[1，2]上有极值，可得1＜$\sqrt{\frac{k}{3}}$＜2，
解得3＜k＜12，
由g（x）在（1，$\sqrt{\frac{k}{3}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{k}{3}}$，2）递增，
可得g（x）在[1，2]的最小值为g（$\sqrt{\frac{k}{3}}$）=$\frac{k}{3}$$\sqrt{\frac{k}{3}}$-k$\sqrt{\frac{k}{3}}$=-$\frac{2k}{3}$$\sqrt{\frac{k}{3}}$＜0，
g（1）=1-k，g（2）=8-2k，
当k=7时，g（1）=g（2）=-6为g（x）的最大值，符合题意；
当k＞7时，g（1）＞g（2），1-k为g（x）的最大值，
由题意可得1-k＜0，即k＞1，故k＞7成立；
当k＜7时，g（1）＜g（2），8-2k为g（x）的最大值，
由题意可得8-2k＜0，即k＞4，故4＜k＜7成立；
综上可得k的取值范围是（4，12）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．