Question

10．设A、B、C为锐角△ABC的三个内角，M=sinA+sinB+sinC，N=cosA+2cosB，则（　　）

• A． M＜N
• B． M=N
• C． M＞N
• D． M、N大小不确定

Answer 1

分析 首先，根据锐角三角形的角的特点，A+B＞90°C+B＞90°A+C＞90°，然后，利用诱导公式进行判断，得到sinA＞cosB，sinB＞cosC，sinC＞cosA，最后，利用不等式的性质，从而得到相应的结论．

解答 解：∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B＞90°，
∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，即：sinA＞cosB，
同理可得：sinB＞cosC，sinC＞cosA，
上面三式相加：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC，
∴在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC，
∴M＞N，
故选：C．

点评 本题综合考查三角形的性质、诱导公式及其运用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．