Question

2．已知关于x的不等式ax²+（1-a）x-1＞0
（1）当a=2时，求不等式的解集．
（2）当a＞-1时．求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，不等式即即（x-1）（2x+1）＞0，由此求得x的范围．
（2）不等式即（x-1）（ax+1）＞0，其对应方程的根为-$\frac{1}{a}$与1，利用二次函数的性质分类讨论求得它的解集．

解答 解　（1）原不等式即（x-1）（ax+1）＞0，当a=2时，即（x-1）（2x+1）＞0，
求得x＜-$\frac{1}{2}$，或x＞1，故不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{2}$，或x＞1}．
（2）二次项系数含有参数，因此对a在0点处分开讨论．
若a≠0，则原不等式ax²+（1-a）x-1＞0等价于（x-1）（ax+1）＞0．
其对应方程的根为-$\frac{1}{a}$与1．
又因为a＞-1，则①当a=0时，原不等式为x-1＞0，
所以原不等式的解集为{x|x＞1}；
②当a＞0时，-$\frac{1}{a}$＜1，所以原不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{a}$，或 x＞1}；
③当-1＜a＜0时，-$\frac{1}{a}$＞1，所以原不等式的解集为{x|1＜x＜-$\frac{1}{a}$ }．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．