Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PB⊥AC
（Ⅱ）求直线PB与平面BDE的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用直线与平面垂直的判定定理，转化证明即可．
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面BDE的一个法向量，然后利用向量的数量积求解直线PB与平面BDE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：因为ABCD是正方形，∴AC⊥BD，PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，PD⊥AC，PD∩DB=D，
∴AC⊥平面PDB，PB?平面PBD，
∴PB⊥AC．
（2）解：∵PD⊥AB，PD⊥BC，AB∩BC=B，∴PD⊥平面ABCD，设AB=1，
如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DB}$得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），又∵$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴直线PB与平面BDE所成角的余弦值为：$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．