Question

6．设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，a₂=3，S_n+1（2S_n+1+n-4S_n）=2nS_n，则a₂₅等于（　　）

• A． 3×2²³
• B． 3×2²⁴
• C． 2²³
• D． 2²⁴

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得S_n+1-2S_n=0，则S_n+1=2S_n，得到${S}_{n}={S}_{1}×{2}^{n-1}$，结合a₂=3求得S₁，得到S_n，再由a₂₅=S₂₅-S₂₄求解．

解答 解：∵S_n+1（2S_n+1+n-4S_n）=2nS_n，
∴$2{{S}_{n+1}}^{2}+（n-4{S}_{n}）{S}_{n+1}-2n{S}_{n}=0$，
∴（S_n+1-2S_n）（2S_n+1+n）=0，
∵a_n＞0，∴2S_n+1+n＞0，则S_n+1-2S_n=0．
∴S_n+1=2S_n，则${S}_{n}={S}_{1}×{2}^{n-1}$，
∴a₂=S₂-S₁=S₁=3，则${S}_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∴${a}_{25}={S}_{25}-{S}_{24}=3×{2}^{23}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用数列的前n项和求数列通项，是中档题．