Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，设A（a₁₀₀₉，1），B（2，-1），C（2，2）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，则S₂₀₁₇为（　　）

• A． -2016
• B． -2017
• C． 2017
• D． 0

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，可得a₁₀₀₉=0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．

解答 解：∵A（a₁₀₀₉，1），B（2，-1），C（2，2），向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴2a₁₀₀₉+2=2×2-1×2，
即a₁₀₀₉=0，
∴a₁+a₂₀₁₇=2a₁₀₀₉=0，
∴S₂₀₁₇=$\frac{2017}{2}$（a₁+a₂₀₁₇）=0，
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算、投影，等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．