Question

13．设函数$f（x）=2alnx+\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）若$a=-\frac{1}{2}$，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数到底是，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为2a≥$\frac{lnx-1}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx-1}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）定义域为x∈（0，+∞）．
当$a=-\frac{1}{2}$时，$f'（x）=\frac{-x+1-lnx}{x^2}$且f'（1）=0．
令h（x）=-x+1-lnx，则$h'（x）=-1-\frac{1}{x}＜0$，
故h（x）在定义域上是减函数，
注意到h（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，此时f'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1）=0，此时f'（x）＜0．
∴f（x）的极大值为f（1）=0，无极小值．
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f′（x）=$\frac{2ax+1-lnx}{{x}^{2}}$≥0，
故2a≥$\frac{lnx-1}{x}$，
令$g（x）=\frac{lnx-1}{x}$，
∴$g'（x）=\frac{2-lnx}{x^2}$，
由g'（x）＞0得x∈（0，e²），
由g'（x）＜0得x∈（e²，+∞），
故g（x）的最大值为$g（{e^2}）=\frac{1}{e^2}$，
∴2a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，a≥$\frac{1}{2}$e^-2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．