Question

13．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若存在实数a∈[1，2]，对任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，则7b+5c的最大值是-6．

Answer 1

分析 对任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，可得f（1）≤1且f（2）≤1，存在实数a∈[1，2]，可得b+c≤0，2b+c≤-3，利用待定系数法，即可得出结论．

解答 解：∵对任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，
∴f（1）≤1且f（2）≤1，
∵存在实数a∈[1，2]，∴可得b+c≤0，2b+c≤-3，
令7b+5c=m（b+c）+n（2b+c），则$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=7}\\{m+n=5}\end{array}\right.$，∴m=3，n=2，
∴7b+5c=3（b+c）+2（2b+c），
∴7b+5c≤-6，
∴7b+5c的最大值是-6，
故答案为-6．

点评 本题考查二次函数的性质，考查不等式知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．