Question

3．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）共焦点F₂，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF₂|-1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF₂|=$\frac{5}{2}$．
（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x₀，y₀），求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF₂|-1，通过抛物线的定义，转化解得p=2，得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点F₂（1，0），左焦点F₁（-1，0），由|QF₂|=$\frac{5}{2}$，解得Q（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$）利用椭圆的定义求出a，b．求解椭圆的方程．
（II）显然k≠0，m≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，推出km=1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$消去y，推出9k²-m²+8＞0，求出0＜m²＜9，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），结合韦达定理求解x₀的取值范围．

解答 解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF₂|-1，
∴点M到直线x=-1的距离等于点M到焦点F₂的距离，----------------（1分）
得x=-1是抛物线y²=2px的准线，即-$\frac{p}{2}$=-1，解得p=2，∴抛物线的方程为y²=4x；-----------------（3分）
可知椭圆的右焦点F₂（1，0），左焦点F₁（-1，0），由|QF₂|=$\frac{5}{2}$，得x_Q+1=$\frac{5}{2}$，又y_Q²=4x_Q，解得Q（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$），-------（4分）
由椭圆的定义得2a=|QF₁|+|QF₂|=$\frac{7}{2}$+$\frac{5}{2}$=6，----------------------（5分）
∴a=3，又c=1，得b²=a²-c²=8，∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．-------------------------（6分）
（II）显然k≠0，m≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，得ky²-4y+4m=0，
由题意知△=16-16km=0，得km=1，--------------------------（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$消去y，得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，
其中△₂=（18km）²-4（9k²+8）（9m²-72）＞0，
化简得9k²-m²+8＞0，-----------------------------------------（9分
又k=$\frac{1}{m}$，得m⁴-8m²-9＜0，解得0＜m²＜9，--------------------（10分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{9{k}^{2}+8}$＜0，
由k²=$\frac{1}{{m}^{2}}$＞$\frac{1}{9}$，得x₀＞-1，∴x₀的取值范围是（-1，0）．--------------（12分）

点评 本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．