Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，试问函数f（x）在其定义域内有多少个零点？（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰，从而由等比数列的前n项和公式证明f′（x）＞0，从而说明f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

在定义域内是增函数，再求f（-1）及f（0）；从而判断．

解答： 解：∵f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰；
①当x=0时，f′（x）=1＞0；
②当x=-1时，f′（x）=2011＞0；
③当x≠0且x≠-1时，f′（x）=

1+x2011

1+x

＞0；
∴f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

在定义域内是增函数，
又∵f（-1）=1-1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

+…-

1

2011

＜0，
f（0）=1＞0；
故函数f（x）在其定义域内有1个零点；
故选B．

点评：本题考查了导数的综合应用及等比数列的前n项和的应用，属于难题．