Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（-1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x₀，y₀），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．

解答：（Ⅰ）解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依
题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0.

解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），
则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（Ⅱ）解：曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
因f'（x₀）=3（x₀²-1），
故切线的方程为y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到点A（0，16）在切线上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀）
化简得x₀³=-8，
解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．