Question

已知函数f（x）=a^x+log_a（x-1）（其中a＞0且a≠1）．
（1）若，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，3]上的最小值为4，求a的值．

Answer 1

解（1）∵a=＜1，
∴f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数．…（3分）
∴f（x）在x∈[1，2]上的x=2取最小值 …（5分）
最小值为f（2）=+=…（7分）
（2）如果0＜a＜1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为减函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（3）=a³+log_a2=4，又a³＜1，log_a2＜0，
∴f（3）=4无解．…（10分）
如果a＞1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为增函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（2）=a²+log_a1=4，
∴a=2．
综合得a的值为2．…（14分）
分析：（1）由于a=＜1，f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数，从而可求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）对a分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，利用f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上的单调性得到关于a的关系式，解之即可．
点评：本题考查指数函数与对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，考查分析运算能力，属于中档题．