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    2．已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图所示，

    给出下列结论：
    ①四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{72}{5}$；
    ②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值；
    ③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
    ④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$；
    ⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为$\frac{14}{5}$．
    其中正确的结论的个数有（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    分析 在①中，四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{24}{5}$；在②中，三棱锥A-BCD外接球的表面积为25π；在③中，连接AF，CF，得到EF⊥AC，连接DE，BE，得△ACD≌△ACB，得DE=BE，从而EF⊥BD；在④中，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$；在⑤中，当二面角A-BD-C的大小为60°时，AC=$\frac{\sqrt{193}}{5}$．

    解答 解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，
    四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故①不正确；
    ②三棱锥A-BCD外接球的半径为$\frac{5}{2}$，
    所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4$π×\frac{25}{4}=25π$，故②正确；
    ③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，
    根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
    连接DE，BE，得△ACD≌△ACB，
    得到DE=BE，所以EF⊥BD，故③正确；
    ④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，
    则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$，故④正确．
    ⑤在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
    作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=$\frac{12}{5}$，DE=BF=$\frac{9}{5}$，
    同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
    在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，得四边形AEFH为矩形，
    则AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
    FH⊥DB，又CF⊥DB，
    即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
    即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
    由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
    则AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$，故⑤错误；
    故选：C．

    点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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