Question

14．计算
（1）${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx的值．
（2）${∫}_{-3}^{3}$（|x+1|+|x-1|-4）dx；
（3）${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx（b＞a）
（4）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sin³xcosx）dx；
（5）${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x（x+1）}$dx．

Answer 1

分析 根据定积分的计算法则和定积分的几何意义分别求出即可．

解答 解：（1）${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$）dx表示以原点为圆心，以3为半径的圆的面积的二分之一，故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$）dx=$\frac{9π}{2}$
${∫}_{-3}^{3}$x³dx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$|${\;}_{-3}^{3}$=0，
故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx=$\frac{9π}{2}$；
（2）${∫}_{-3}^{3}$（|x+1|+|x-1|-4）dx=${∫}_{1}^{3}$（x+1+x-1-4）dx+${∫}_{-1}^{1}$（x+1+1-x-4）dx+${∫}_{-3}^{-1}$（-x-1+1-x-4）dx，
=${∫}_{1}^{3}$（2x-4）dx+${∫}_{-1}^{1}$（-2）dx+${∫}_{-3}^{-1}$（-2x-4）dx=（x²-4x）|${\;}_{1}^{3}$-2x|${\;}_{-1}^{1}$-（x²+4x）|${\;}_{-3}^{-1}$=0-4-0=-4，
（3）设y=$\sqrt{（x-a）（b-x）}$，则y²=（x-a）（b-x），即（x-$\frac{a+b}{2}$）²+y²=（$\frac{b-a}{2}$）²，
则${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx表示以（$\frac{a+b}{2}$，0）为圆心，以$\frac{b-a}{2}$为半径的圆的面积二分之一，
故${∫}_{a}^{b}$$\sqrt{（x-a）（b-x）}$dx=$\frac{π（b-a）^{2}}{8}$
（4）因为y=sin³xcosx为奇函数，
故${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sin³xcosx）dx=0，
（5）${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x（x+1）}$dx=${∫}_{1}^{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$）dx=[lnx-ln（x+1）]|${\;}_{1}^{2}$=ln$\frac{x}{x+1}$|${\;}_{1}^{2}$=ln$\frac{2}{3}$-ln$\frac{1}{2}$=ln$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了定积分了计算以及定积分的几何意义，属于中档题．