Question

若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4，且t≠

5

2

；
②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜

3

2

．
其中正确的命题是

 

．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用圆锥曲线的简单几何性质，对①②③④四个选项逐一分析即可．

解答： 解：①若C为椭圆，则

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，解得1＜t＜4，且t≠

5

2

，故①正确；
②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，即（t-4）（t-1）＞0，解得t＞4或t＜1，故②正确；
③若

4-t＞0 t-1＞0 4-t=t-1

，即t=

5

2

时，曲线C是圆，故③错误；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

，故④错误；
综上所述，正确的命题是①②，
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查椭圆、双曲线的几何性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．