Question

在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=

π

4

，则cosA-cosC的值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：通过a、b、c成等差数列以及正弦定理得到关系式，利用和差化积，二倍角公式以及三角形的内角和，推出cos

A-C

2

=2sin

B

2

，求出sin

A-C

2

，利用和差化积化简cosA-cosC，代入B，即可求出结果．

解答： 解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c；
据正弦定理有：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC；
代入2b=a+c，化简，得：2sinB=sinA+sinC=2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sin

π-B

2

cos

A-C

2

=2cos

B

2

cos

A-C

2

=4sin

B

2

cos

B

2

；
∵cos

A-C

2

=2sin

B

2

；sin

A-C

2

=±

1-4sin2 B 2

=±

1-2(1-cosB)

=±

2cosB-1

，
∴cosA-cosC=-2sin

A+C

2

sin

A-C

2

=±2cos

B

2

2cosB-1

=±

2(1+cosB)(2cosB-1)

=±

4cosB-2+4cos2B-2cosB

=±

2cosB-2+4cos2B

=±

2 -2+2

=±

4	2

；
故答案为：±

4	2

点评：此题考查了正弦定理，积化和差公式，等差数列的性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．