Question

函数f（x）=x+

4

x

．
（1）证明f（x）在（0，2）上单调递减，并求f（x）在[

1

2

，1]上的最值．
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．
（3）函数f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值吗？如有求出最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）利用导数的符号可证明f（x）递减；由单调性可得f（x）在[

1

2

，1]上的最值；
（2）利用函数奇偶性的定义可作出判断；
（3）利用导数可求得x＜0时函数的最值；

解答： （1）证明：∵f（x）=x+

4

x

，∴f'（x）=1-

4

x2

，
又x∈（0，2），∴

4

x2

＞1，f'（x）＜0，
故f（x）在（0，2）上单调递减；
∵f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（

1

2

）=

1

2

+

4

1 2

=

17

2

，最小值为f（1）=1+

4

1

=5；
（2）解：f（x）为定义域内的奇函数，证明如下：
f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
又f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（3）解：f'（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
当x＜-2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当-2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
∴f（x）在x=-2时取得极大值，也为最大值，f（-2）=-2+

4

-2

=-4，
故x＜0时，f（x）取得最大值为-4．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题，熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题关键．