Question

14．在三角形△ABC中，bsinA=$\sqrt{3}$acosB，则B=$\frac{π}{3}$；若b=2$\sqrt{2}$，则△ABC面积最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 使用正弦定理和已知条件得出tanB，利用余弦定理和基本不等式得出ac的最大值，代入面积公式即可．

解答 解：在△ABC中，∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinB=$\sqrt{3}cosB$．
∴tanB=$\sqrt{3}$．∴B=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-8}{2ac}=\frac{1}{2}$．
∴a²+c²=8+ac≥2ac．
∴ac≤8．
∴S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$≤2$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$，2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了利用正余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题．