Question

（本小题10分）如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；

（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1） ． （2）均用表示

【解析】

试题分析: 第一步是抛物线焦点弦长公式和焦半径公式的应用，首先设出直线方程，和抛物线方程联立求

出，使用公式，列方程求出；第二步首先假设存在于是巧设点（运算简单），

表达出三个斜率使其成等差数列，注意在整理时要有减元意识，把均用表示，最后借助

，，转化为只含有的关系，利用恒成立求出，达到解题的目的.

试题解析：（Ⅰ）焦点，∵直线的斜率不为，所以设，设，，

联立方程组，得：，则，

而，，

所以 ∴直线的斜率，，.

∴直线的方程为

（Ⅱ）设在上是否存在点，首先求出，

，，同理，由于直线，，的斜率始终成等差数列，则恒成立，，

，，把代入后得：恒成立，则 .

存在点或使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列.

考点：1. 抛物线焦点弦长公式和焦半径公式;2.巧设点；3.恒成立问题；4.存在性问题；