Question

10．己知等差数列{a_n}，设其前n项和为S_n，满足S₅=20，S₈=-4．
（1）求a_n与S_n；
（2）设c_n=a_na_n+1a_n+2，T_n是数列{c_n}的前n项和，若对任意n∈N⁺，T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质建立方程组求出首项和公差即可求a_n与S_n；
（2）求出c_n=a_na_n+1a_n+2，的值，将T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立转化为求（T_n）_max≤$\frac{m-466}{3}$恒成立即可．

解答 解：（1）∵S₅=20，S₈=-4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=-4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{{2a}_{1}+7d=-1}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=10}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
则a_n=10-3（n-1）=13-3n，
S_n=10n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-3）=$-\frac{3}{2}$n²+$\frac{23n}{2}$．
（2）设c_n=a_na_n+1a_n+2=（13-3n）（10-3n）（7-3n），
要使若对任意n∈N⁺，T_n≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，
则只要若对任意n∈N⁺，（T_n）_max≤$\frac{m-466}{3}$恒成立，
则a₁=10，a₂=7，a₃=4，a₄=1，a₅=-2，a₆=-5，a₇=-8，a₈=-11，
则c₁=a₁a₂a₃=280，c₂=a₂a₃a₄=28，c₃=a₃a₄a₅=-8，c₄=a₄a₅a₆=10，c₅=a₅a₆a₇=-80，
则当n≥5时，c_n＜0，
则当n=4时，前四项和最大，
此时T₄=280+28-8+10=310，
则由310≤$\frac{m-466}{3}$得m≥1396，
即实数m的取值范围是[1396，+∞）．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，利用不等式恒成立转化为求最值是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的运算能力．