Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

则函数g（x）=4f（x）-1的零点个数为（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=

1

4

，作出函数f（x）的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=

1

4

，
要判断函数g（x）的零点个数，则根据f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
只需要判断当x＞0时f（x）=

1

4

的个数即可，
当0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1∈[0，1]，
当2＜x≤4时，0＜x-2≤2时，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

2

[2^|x-3|-1]∈[0，

1

2

]，
当4＜x≤6时，2＜x-2≤4时，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

4

[2^|x-5|-1]∈[0，

1

4

]，
当6＜x≤8时，4＜x-2≤6时，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

8

[2^|x-7|-1]∈[0，

1

8

]，
作出函数f（x）在（0，8）上的图象，由图象可知f（x）=

1

4

有5个根，
则根据偶函数的对称性可知f（x）=

1

4

在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上共有10个根，
即函数g（x）=4f（x）-1的零点个数为10个，
故选：D

点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．