Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，E是PB的中点，PD=AD．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求证：PC⊥平面ADE；
（3）求二面角A-ED-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得AC⊥PD，由正方形性质得AC⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥平面ADE．
（3）作辅助线，寻找二面角的平面角，然后根据三角形的边角关系即可求出二面角的大小．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：取PC的中点F，
∵PD=DC，∴PC⊥DF，
∵PD⊥底面ABCD，
∴DC是PC在底面ABCD上的射影，
则PC⊥AD，
∵AD∩DF=D，
∴PC⊥面ADF，
∵E是PB的中点，∴EF∥BC∥AD，即A，E，F，D共面，
∴PC⊥面ADE．
（3）解：设AC∩BD=O，作OM⊥DE于M，连结AM，
∵AO⊥面PBD，
∴由三垂线定理，AM⊥DE，
即∠AMO是二面角A-ED-B的平面角，
在Rt△OMD中，OM=ODsin∠MDO=DOsin∠PBD=

2

2

AD×

3

3

=

6

6

AD=

3

3

AO，
在Rt△AOM中，tan∠AMO=

AO

OM

=

3

，
即∠AMO=60°．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直，面面垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理，以及二面角的求解方法．