Question

设函数f（x）=lnx+x，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：方程2mf（x）=x²有唯一实数解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x²-2mlnx-2mx，利用导数可得其最小值为g（x₂）．则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即2lnx₂+x₂-1=0．设h（x）=2lnx+x-1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出答案．

解答： 解：∵方程2mf（x）=x²有唯一实数解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

．
令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x₂=

m+ m2+4m

2

．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增．
∴g（x）最小值为g（x₂）．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 2x22-2mx2-2m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0即2lnx₂+x₂-1=0．
设h（x）=2lnx+x-1（x＞0），h′（x）=

2

x

+1＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．
又h（1）=0，
∴x₂=1，
即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了问题的转化能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．