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    【题目】如图，四棱锥的底面是矩形，，点为的中点，与交于点.

    （Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

    （Ⅱ）求证：；

    （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）

    【解析】

    （I）根据判断出是异面直线成角，判断三角形是直角三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II）先证得,然后证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（III）过点作与的延长线交于点，证得直线与平面所成角，在中，求得线面角的正弦值.

    解：（Ⅰ）∵是矩形，∴∴是异面直线成角

    在中， ∴在中，

    ∴异面直线成角余弦值为.

    （Ⅱ）∵，点为的中点∴，又∵

    ∴

    又∵，∴

    又∵∴

    （Ⅲ）过点作与的延长线交于点，

    ∵，为斜线在面内的射影

    ∴直线与平面所成角

    在中，∴

    ∴直线与平面所成角的正弦值

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    组别

    年龄

    人数

    1

    5

    2

    35

    3

    20

    4

    30

    5

    10

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    步数

    人数

    5

    13

    12

    （1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；

    （2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为，属于“懈怠型”的人依次记为，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.设为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件发生的概率.

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    （1）求证：平面；

    （2）求四棱锥的体积.

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    A.21种B.24种C.25种D.27种

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    （1）①仔细观察表中数据，算出该样本平均数______；

    ②由表格可以认为，该地区成年女子的血清总蛋白含量Z服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s.经计算，该样本标准差.

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    120名成年女人的血清总蛋白含量的频数分布表

    分组

    频数f

    区间中点值x

    2

    65

    130

    8

    67

    536

    12

    69

    828

    15

    71

    1065

    25

    73

    1825

    24

    75

    1800

    16

    77

    1232

    10

    79

    790

    7

    81

    567

    1

    83

    83

    合计

    120

    8856

    （2）结合（1）中的正常值范围，若该地区有5名成年女子检测血清总蛋白含量，测得数据分别为83.2，80，73，59.5，77，从中随机抽取2名女子，设血清总蛋白含量不在正常值范围的人数为X，求X的分布列和数学期望.

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