Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）-mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），对称轴为x=1，分当a＞0时、当a＜0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．
（2）由题意可得可得

a=1 b=0

，g（x）=x²-（m+2）x+2，根据条件可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，由此求得m的范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=ax²-2ax+2+b=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），对称轴为x=1，
当a＞0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，由题意可得

f(2)=2+b=2 f(3)=2+b+3a=5

，
解得

a=1 b=0

．
当a＜0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，由题意可得

f(2)=2+b=5 f(3)=2+b+3a=2

，
解得

a=-1 b=3

．
综上可得，

a=1 b=0

，或 

a=-1 b=3

．
（2）若b＜1，则由（1）可得

a=1 b=0

，g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2，
再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，
解得 m≤2，或m≥6，
故m的范围为（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．