Question

1．已知sin（θ-$\frac{3}{2}π$）+cos（$\frac{3}{2}π+θ$）=$\frac{3}{5}$，求sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）的值．

Answer 1

分析 利用诱导公式求出cosθ+sinθ=$\frac{3}{5}$，再由同角三角函数关系式求出sinθcosθ=-$\frac{8}{25}$，由此利用诱导公式和立方和公式能求出sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）的值．

解答 解：∵sin（θ-$\frac{3}{2}π$）+cos（$\frac{3}{2}π+θ$）=$\frac{3}{5}$，
∴cosθ+sinθ=$\frac{3}{5}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{9}{25}$，解得sinθcosθ=-$\frac{8}{25}$，
∴sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）
=cos³θ+sin³θ
=（cosθ+sinθ）（cos²θ-cosθsinθ+sin²θ）
=$\frac{3}{5}$×（1-cosθsinθ）
=$\frac{3}{5}×（1+\frac{8}{25}）$
=$\frac{99}{125}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式、同角三角函数关系式和立方和公式的合理运用．