Question

16．若F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，A、C、D、B分别是此椭圆的左、右、上、下顶点，P是椭圆上一点．
（1）若∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面积；
（2）若存在点P，使∠F₁PF₂=90°，求椭圆的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知利用椭圆定义及余弦定理列出方程组，求出|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$b²，由此能求出△PF₁F₂的面积．
（2）点P在以F₁F₂为直径的圆上，以F₁F₂为直径的圆与椭圆有公共点，以F₁F₂为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答 解：（1）∵F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{cos60°=\frac{|P{F|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}}\end{array}\right.$，
解得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$b²，
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{b}^{2}$．
（2）∵P点满足∠F₁PF₂=90°，∴点P在以F₁F₂为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，
∴以F₁F₂为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c²≥b²，即c²≥a²-c²，∴2c²≥a²，
两边都除以a²，得2e²≥1，
∴e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查三角形面积的求法，考查椭圆离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线的位置关系的合理运用．