Question

7．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中点，N是AB中点，求证：
（1）A₁B⊥平面AMC₁；
（2）平面AMC₁∥平面NB₁C．

Answer 1

分析 （1）推导出C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，从而A₁B⊥C₁M，由此能证明A₁B⊥平面AMC₁．
（2）推导出MC₁∥NC，MB₁$\underset{∥}{=}$AN，四边形ANB₁M是平行四边形，∴AM∥NB₁，由此能证明平面AMC₁∥平面NB₁C．

解答 证明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，
又AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁M⊥平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴A₁B⊥C₁M，
又AC₁∩C₁M=C₁，∴A₁B⊥平面AMC₁．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中点，N是AB中点，
∴MC₁∥NC，MB₁$\underset{∥}{=}$AN，∴四边形ANB₁M是平行四边形，
∴AM∥NB₁，
∵AM∩C₁M=M，B₁N∩NC=N，AM，C₁M?平面AMC₁，NB₁，NC?平面NB₁C，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C．

点评 本题考查线面垂直、面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．