Question

19．数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，则{a_n}的前64项和为2080．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得${a}_{n+2}+{a}_{n}=（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，同理可得${a}_{n+3}+{a}_{n+1}=-（-1）^{n}（2n+1）+2n+3$，构造数列b_n=a_4n+a_4n-1+a_4n-2+a_4n-3，可知数列b_n为等差数列，把{a_n}的前64项和转化为数列{b_n}的前16项和得答案．

解答 解：由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，得：
${a}_{n+2}=-（-1）^{n+1}{a}_{n+1}+2n+1$
=-（-1）ⁿ⁺¹[-（-1）ⁿa_n+2n-1]+2n+1
=$-{a}_{n}+（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，
∴${a}_{n+2}+{a}_{n}=（-1）^{n}（2n-1）+2n+1$，
同理：${a}_{n+3}+{a}_{n+1}=-（-1）^{n}（2n+1）+2n+3$，
于是${a}_{n+3}+{a}_{n+2}+{a}_{n+1}+{a}_{n}=4n+4-2（-1）^{n}$，
令b_n=a_4n+a_4n-1+a_4n-2+a_4n-3，
则b_n+1=b_n+16，b₁=10，
于是，b_n=16n-6，
前16项和为$\frac{（10+16×16-6）×16}{2}=2080$．
故答案为：2080．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．