Question

17．已知直线l与曲线$y=-\frac{1}{x}$和曲线y=lnx均相切，则这样的直线l的条数为1．

Answer 1

分析 设出两切点（m，n），（s，t），求出导数，由两点的斜率公式，可有$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{s}$=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{\frac{-1}{m}-lns}{m-s}$，化简整理可得即为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{-m}$=ln（-m），（m＜0），令x=-m，则有lnx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$，运用零点存在定理，即可判断零点个数，进而得到公切线条数．

解答 解：设与曲线y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）和曲线y=lnx相切的切点分别为（m，n），（s，t），
则n=-$\frac{1}{m}$，t=lns，（m＜0，s＞0），
由（-$\frac{1}{x}$）′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，（lnx）′=$\frac{1}{x}$，
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{s}$=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{\frac{-1}{m}-lns}{m-s}$，
即m²=s，1-m=-1-mlns，
即为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{-m}$=ln（-m），（m＜0），
令x=-m，则有lnx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）递增，
f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-$\frac{5}{6}$＞0，
由零点存在定理可得f（x）=0有且只有一个实根，
即有m唯一，s唯一，
则有公切线的条数为1．
故答案为：1．

点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，运用两点的斜率公式和零点存在定理是解题的关键．