Question

20．如图1，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2）．
（1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，求证：DP∥平面A′BE；
（2）求二面角B-A′E-D的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）若点P在棱A′C上，且CP=3PA′，根据线面平行的判定定理即可证明DP∥平面A′BE；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-A′E-D的余弦值的大小．

解答 解：（1）在图2中，过P作PQ∥BC交A'B于Q．…（1

∵CP=3PA'，∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{A'P}{A'C}=\frac{1}{4}$，
∵BC=4，∴PQ=1，…（2分）
∵DE∥BC．DE=1，
∴$DE\underline{\underline{∥}}PQ$，
得DE∥QP．∴DP∥EQ…（4分）
∵DP?平面A'BE，EQ?平面A'BE∴DP∥平面A'BE．…（5分）
（2）在图2中，过A'作A'F⊥BE于F．
∵平面A'BE⊥平面BCDE，
∴A'F⊥平面BCDE  …（6分）
∵∠BA′E=90°，A′B=$\sqrt{3}$，A′E=3，
∴∠A'EB=30°，A′F=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
过F作FG⊥DE交DE延长线于G，则FG=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，EG=$\frac{9}{4}$…（7分）
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，$\overrightarrow{EA'}=（\frac{9}{4}，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{2}）$，$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，0，0）…（8分）
设平面A'BE的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}x+\frac{3\sqrt{3}}{4}y=0}\\{\frac{9}{4}x+\frac{3\sqrt{3}}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow n=（1，-\sqrt{3}，0）$  …（9分）
设平面A'DE的法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{\frac{9}{4}{x}_{1}+\frac{3\sqrt{3}}{4}{y}_{1}+\frac{3}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow m=（0，2，-\sqrt{3}）$   …（10分），
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{-2\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+3}•\sqrt{4+3}}}=-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$       …（11分）
∵二面角B-A'E-D为钝角，
∴二面角B-A'E-D的余弦的大小为$-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．  …（12分）

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．