Question

19．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{y≥0}\\{kx+y-3k≤0}\end{array}\right.$且目标函数z=y-x的最大值是4，则k等于$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{y≥0}\\{kx+y-3k≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，因为直线kx+y-3k=0过定点（3，0），所以只有目标函数z=y-x过A时取最大值是4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{y-x=4}\end{array}\right.$，解得A（-1，3）此时，-k=$\frac{3-0}{-1-3}$=-$\frac{3}{4}$，所以k=$\frac{3}{4}$；
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．