Question

8．如图所示，l₁，l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l₁上，且位于M点的两侧，C在l₂上，AM=BM=NM=CN
（1）求证：异面直线AC与BN垂直；
（2）若四面体ABCN的体积V_ABCN=9，求异面直线l₁，l₂之间的距离．

Answer 1

分析 （1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．

解答 解：（1）证明：由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，可得l₂⊥平面ABN．
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．
又AN为AC在平面ABN内的射影．
∴AC⊥NB
（2）∵AM=BM=NM=CN，MN是它们的公垂线段，
就是异面直线l₁，l₂之间的距离，
由中垂线的性质可得AN=BN，四面体ABCN的体积V_ABCN=9，
可得：V_ABCN=9=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×MN×CN$=$\frac{1}{3}$MN³，
∴MN=3．
异面直线l₁，l₂之间的距离为3．

点评 本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．