Question

20．已知a∈R，函数f（x）=a+$\frac{1}{|x|}$
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；
（2）若关于x的方程f（x）-2x=0在区间[-2，-1]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分类讨论解不等式f（x）≤2x；
（2）若关于x的方程f（x）-2x=0在区间[-2，-1]上有解，即a=2x-$\frac{1}{|x|}$在区间[-2，-1]上有解，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤2x，即1+$\frac{1}{|x|}$≤2x，
x＞0，可化为2x²-x-1≥0，解得x≥1；
x＜0，可化为2x²-x+1≤0，无解，
综上所述，不等式的解集为{x|x≥1}；
（2）关于x的方程f（x）-2x=0在区间[-2，-1]上有解，即a=2x-$\frac{1}{|x|}$在区间[-2，-1]上有解，
∴a=2x+$\frac{1}{x}$在区间[-2，-1]上单调递增，
∴-$\frac{9}{2}$≤a≤-3．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查方程解的问题，正确转化是关键．