Question

20．如图，AD是△ABC边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC
（Ⅰ）证明：B，C，F，E四点共圆；
（Ⅱ）若AF=5，CF=2，DE=2$\sqrt{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图，连接EF．欲证明B，C，F，E四点共圆，只需推知“其一个外角等于其邻补角的内对角”（∠C=∠AEF）即可；
（Ⅱ）在直角三角形ADC中利用射影定理得到线段AD的长度；在直角三角形AED中利用勾股定理得到线段AE的长度；最后在直角三角形ADB中利用勾股定理来求线段AB的长度．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接EF，由已知A，E，D，F四点共圆，
∴∠FAD=∠FED．
∵∠C+∠FAD=∠AEF+∠FED=90°，
∴∠C=∠AEF，
则B，C，E，F四点共圆．
（Ⅱ） 解：∵直角三角形ADC中，DF⊥AC，
∴由射影定理得：AD²=AF×AC=5×7=35．
直角三角形AED中，$AE=\sqrt{A{D^2}-D{E^2}}=\sqrt{35-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=\sqrt{15}$，
直角三角形ADB中，DE⊥AB，由射影定理得：AE×AB=AD²，
∴$AB=\frac{{A{D^2}}}{AE}=\frac{35}{{\sqrt{15}}}=\frac{{7\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查了射影定理、勾股定理．总结：直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．