Question

由原点向三次曲线引切线,切于不同于点的点
，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去,……,得到点列，试回答下列问题： ⑴求； (2)求与的关系式；
(3)若，求证:当为正偶数时,；当为正奇数时,.

Answer 1

⑴，⑵⑶证明略

⑴由 ① 得y′=3x²－6ax＋b.
过曲线①上点的切线的方程是：
由它过原点，有
                                      
⑵ 过曲线①上点的切线l_n+1的方程是：
,由过曲线①上点，有
∵，以除上式，得

以除之，得  
(3)方法1 由(2)得
故数列{x _n－a}是以x ₁－a=为首项,公比为－的等比数列,
 
∵，∴当为正偶数时,
当为正奇数时,                      
方法2
=
以下同解法1.