Question

已知函数f（x）=kln|x|+1（k≠0），定义函数F（x）=

f(x)  x＞0 -f(x)   x＜0

，给出下列命题：
①函数F（x）是奇函数；
②F（x）=|f（x）|；
③当k＜0，若mn＜0，m+n＜0，总有F（m）+F（n）＞0成立，
其中所有正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数奇偶性的定义可证得当x＞0或x＜0时，F（-x）=-F（x）；故函数F（x）是奇函数①正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，利用函数的单调性可得③正确．由题意得F（x）=

klnx+1，x＞0 -kln(-x)-1，x＜0

再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故②错误

解答： 解：∵函数f（x）=kln|x|+1是偶函数，
当x＞0时，-x＜0，则F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
当x＜0时，-x＞0，则F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函数F（x）是奇函数，①正确；
由题意得F（x）=

klnx+1，x＞0 -kln(-x)-1，x＜0

而|f（x）|=

kln|x|+1，f(x)＞0 -kln|x|-1，f(x)＜0

它和F（x）并不是同一个函数，故②错误；
当k＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
若mn＜0，m+n＞0，总有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．
故其中所有正确命题是①③
故选：C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、命题的真假判断与应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．