Question

6．过椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的右焦点F任作一条倾斜角不等于90°的直线交该椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，则$\frac{{|{PF}|}}{{|{MN}|}}$=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 设直线斜率为k，联立方程组得出M，N两点坐标的关系及M，N的中点坐标，求出|MN|及MN的中垂线方程，得出P点坐标，从而得出|PF|．

解答 解：椭圆的右焦点坐标为F（4，0）．
设直线MN的方程为y=k（x-4）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消元得：（9+25k²）x²-200k²x+25（16k²-9）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=$\frac{200{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{25（{16k}^{2}-9）}{9+25{k}^{2}}$．
x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-4k=-$\frac{36k}{9+25{k}^{2}}$．
∴MN的中垂线方程为y+$\frac{36k}{9+25{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$），
令y=0，得x=-$\frac{36{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$+$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$=$\frac{64{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$．
∴|PF|=4-$\frac{64{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$=$\frac{36（1+{k}^{2}）}{9+25{k}^{2}}$．
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{40000{k}^{4}}{（9+25{k}^{2}）^{2}}-\frac{100（16{k}^{2}-9）}{9+25{k}^{2}}}$=$\frac{90（1+{k}^{2}）}{9+25{k}^{2}}$．
∴$\frac{|PF|}{|MN|}$=$\frac{36}{90}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，属于中档题．