Question

9．已知命题p：实数x满足${x^2}-2x-8≤C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$；命题q：实数x满足|x-2|≤m（m＞0）．
（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先转化p，q，由p且q为真，得p真q真，解出x
（2）由“非p”是“非q”的必要不充分条件得p是q的充分不必要条件，根据数轴列出不等式解出m．

解答 解：（1）∵$C{\;}_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n={（1-1）^n}=0$------------------------------------------（1分）
则${x^2}-2x-8≤C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$等价为x²-2x-8≤0，得-2≤x≤4，
若p真：-2≤x≤4，当m=3时，若q真：由|x-2|≤3得-3≤x-2≤3，得-1≤x≤5，
∵p且q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤4}\\{-1≤x≤5}\end{array}\right.$，得-1≤x≤4，
∴实数x的取值范围为：[-1，4]-------------------------（5分）
（2）∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件---------------------（6分）
∵若q真：2-m≤x≤2+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-m≤-2}\\{4≤2+m}\end{array}\right.$，且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）
得$\left\{\begin{array}{l}{m≥4}\\{m≥2}\end{array}\right.$
∴m≥4．------------------------------------------------------------------（10分）

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用以及充分条件和必要条件的判断，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．