Question

【题目】已知圆与抛物线：的准线交于，两点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线：与曲线交于，两点，且曲线上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围及的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）实数的取值范围为,的取值范围是

【解析】

（1）设圆心到准线的距离为，求得，再结合圆的弦长公式，求得，即可得到抛物线的方程；

（2）联立方程组，根据，解得，且，，求得，设直线方程为，联立方程组，求得，求得的表达式，即可求解．

（1）由题意，圆的半径，圆心为，，

设圆心到准线的距离为，则，

又由，可得，

故抛物线的方程为．

（2）联立方程组，可得，

因为直线与曲线交与，两点，所以，解得，①

设，，则，，

所以，

因为点，关于直线对称，设直线方程为，

直线与，联立得，

由，得，

设，，中点，则，，

因为点也在直线上，所以，

所以，代入得，②

由①②得，实数的取值范围为．

又因为，

所以．

因为，所以，所以，

所以的取值范围是．